Question

10．已知奇函数y=f（x）的导函数f′（x）＜0在R恒成立，且x，y满足不等式f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0，则x²+y²的取值范围是（　　）

• A． $[0，2\sqrt{2}]$
• B． [0，2]
• C． [1，2]
• D． [0，8]

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性结合函数的导数将不等式进行转化，利用直线和圆的性质进行求解即可．

解答 解：∵函数y=f（x）为奇函数，
∴不等式f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0，等价为f（x²-2x）≥f（2y-y²），
由函数y=f（x）的导函数f'（x）＜0在R恒成立，
∴函数y=f（x）为减函数，
∴x²-2x≤2y-y²
即（x-1）²+（y-1）²≤2，
则不等式对应的点的轨迹为圆心为（1，1），半径r=$\sqrt{2}$的圆及其内部．
故$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的几何意义为区域内的点到原点的距离，
最小值为0，最大值为直径$2\sqrt{2}$，
从而x²+y²的最小值为0，最大值为直径的平方8．
故x²+y²的取值范围是[0，8]，•
故选：D．

点评 本题主要考查不等式范围的求解，根据函数的导数判断函数的单调性，以及函数的奇偶性的性质是解决本题的关键．