Question

19．已知F₁，F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，M为该双曲线右支上一点，且|MF₁|²，$\frac{1}{2}$|F₁F₂|²，|MF₂|²成等差数列，该点到x轴的距离为$\frac{c}{2}$，则该双曲线的离心率为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 确定△MF₁F₂是直角三角形，利用勾股定理，三角形的面积公式，双曲线的定义，可得a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：∵|MF₁|²，$\frac{1}{2}$|F₁F₂|²，|MF₂|²成等差数列，
∴|MF₁|²+|MF₂|²=|F₁F₂|²，
∴△MF₁F₂是直角三角形，
∴4c²=m²+n²，
∵点到x轴的距离为$\frac{c}{2}$，
∴$\frac{1}{2}mn=\frac{1}{2}•2c•\frac{c}{2}$，
∴mn=c²，
又|m-n|=2a，
∴m²+n²-2mn=4a²，
∴c²=2a²，
∴e=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查等差数列的性质，考查双曲线的定义，比较基础．