Question

3．如图，△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．
（1）求证：O、B、D、E四点共圆；
（2）求证：AB+AC=$\frac{2D{E}^{2}}{DM}$．

Answer 1

分析 （1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=$\frac{1}{2}$BC，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；
（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE²=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=$\frac{1}{2}$AB和DO=$\frac{1}{2}$AC，化简即可得到等式2DE²=DM•AC+DM•AB成立，即可证明结论．

解答 解：（1）连接BE、OE，则
∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，
又∵D是BC的中点，
∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．
又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．
可得∠OED=∠OBD=90°，
因此，O、B、D、E四点共圆；
（2）延长DO交圆O于点H，
∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．
可得DE²=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．
∵OH=$\frac{1}{2}$AB，OD为△ABC的中位线，得DO=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE²=DM•$\frac{1}{2}$AC+DM•$\frac{1}{2}$AB，化简得2DE²=DM•AC+DM•AB，
∴AB+AC=$\frac{2D{E}^{2}}{DM}$．

点评 本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．