Question

12．下列命题：
①已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-2}，x≥0}\\{{2}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$，则f[f（-2）]=4；
②已知O为平面内任意一点，A、B、C是平面内互不相同的三点，且满足$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$．x+y=1，则A、B、C三点共线；
③已知平面α∩平面β=l，直线a?α且a⊥直线l，直线b?β，则a⊥b是α⊥β的充要条件；
④若△ABC是锐角三角形，则cosA＜sinB；
⑤若f（x）=sin（2x+φ）-cos（2x-φ）的最大值为1，且φ∈（0，$\frac{π}{2}$），则f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）．
其中真命题的序号为①②④（填写所有真命题的序号）．

Answer 1

分析 ①利用已知可得f（-2）=2²=4，f（4）=2²=4，即可判断出正误；
②利用向量共线定理即可判断出正误；
③由面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；
④若△ABC是锐角三角形，则$0＜\frac{π}{2}-B＜A＜\frac{π}{2}$，可得$cos（\frac{π}{2}-B）＞cosA$，即可判断出正误；
⑤f（x）=$\sqrt{2}$（cosφ-sinφ）$sin（2x-\frac{π}{4}）$的最大值为1，可得cosφ-sinφ=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，cos（φ+$\frac{π}{4}$）=$±\frac{1}{2}$，且φ∈（0，$\frac{π}{2}$），解得φ=$\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$．可得f（x）=±$sin（2x-\frac{π}{4}）$，分类讨论利用正弦函数的单调性即可判断出正误．

解答 解：①已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x-2}，x≥0}\\{{2}^{-x}，x＜0}\end{array}\right.$，则f[f（-2）]=f（4）=2²=4，因此正确；
②由O为平面内任意一点，A、B、C是平面内互不相同的三点，且满足$\overrightarrow{OA}$=x$\overrightarrow{OB}$+y$\overrightarrow{OC}$．x+y=1，由共线定理可知：A、B、C三点共线，正确；
③由平面α∩平面β=l，直线a?α且a⊥直线l，直线b?β，则a⊥b是α⊥β的必要不充分条件，因此不正确；
④若△ABC是锐角三角形，则$0＜\frac{π}{2}-B＜A＜\frac{π}{2}$，∴$cos（\frac{π}{2}-B）＞cosA$，∴cosA＜sinB，因此正确；
⑤f（x）=sin（2x+φ）-cos（2x-φ）=（cosφ-sinφ）（sin2x-cos2x）=$\sqrt{2}$（cosφ-sinφ）$sin（2x-\frac{π}{4}）$的最大值为1，∴cosφ-sinφ=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴cos（φ+$\frac{π}{4}$）=$±\frac{1}{2}$，且φ∈（0，$\frac{π}{2}$），∴φ=$\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$．∴f（x）=±$sin（2x-\frac{π}{4}）$，由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}$或$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{4}$≤$2kπ+\frac{3π}{2}$，解得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，或$kπ+\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{8}$（k∈Z），则f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]（k∈Z）或$[kπ+\frac{3π}{8}，kπ+\frac{7π}{8}]$（k∈Z），因此不正确．
综上可得：真命题为①②④．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、分段函数的性质、向量共线定理、面面垂直的判定与性质定理、三角函数的单调性、两角和差的正弦公式等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．