Question

7．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其左右焦点分别为F₁、F₂，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$．设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）是椭圆上不同两点，且这两点与坐标原点的连线斜率之积-$\frac{1}{4}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求证：x₁²+x₂²为定值，并求该定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，可得c=$\sqrt{3}$，由离心率可得a的值，由椭圆的性质可得b的值，带入数据可得答案；
（Ⅱ）根据题意，可得$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$×$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，进而变形可得（x₁x₂）²=16（y₁y₂）²，又由题意可得$\frac{{x}_{{1}^{2}}}{4}$+y₁²=1，$\frac{{x}_{{2}^{2}}}{4}$+y₂²=1，变形可得（1-$\frac{{x}_{{1}^{2}}}{4}$）（1-$\frac{{x}_{{2}^{2}}}{4}$）=（y₁y₂）²，
联合两个式子可得（4-x₁²）（4-x₂²）=（x₁x₂）²，展开可得x₁²+x₂²=4，即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，|F₁F₂|=2c=2$\sqrt{3}$，则c=$\sqrt{3}$，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则a=2，b²=a²-c²=1，
故椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）根据题意，点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）与坐标原点的连线斜率之积-$\frac{1}{4}$，
即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$×$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=-$\frac{1}{4}$，-4y₁y₂=x₁x₂，即（x₁x₂）²=16（y₁y₂）²，
又由$\frac{{x}_{{1}^{2}}}{4}$+y₁²=1，$\frac{{x}_{{2}^{2}}}{4}$+y₂²=1，
则1-$\frac{{x}_{{1}^{2}}}{4}$=y₁²，1-$\frac{{x}_{{2}^{2}}}{4}$=y₂²，
即可得（1-$\frac{{x}_{{1}^{2}}}{4}$）（1-$\frac{{x}_{{2}^{2}}}{4}$）=（y₁y₂）²，
变形可得（4-x₁²）（4-x₂²）=（x₁x₂）²，
展开可得x₁²+x₂²=4，
即x₁²+x₂²为定值4．

点评 本题考查椭圆的标准方程与性质，解（2）时注意运用构造法，变形得到x₁²+x₂²的形式．