Question

17．体积为定值V₀的正三棱柱，当它的底面边长为$\root{3}{4{v}_{0}}$时，正三棱柱的表面积最小．

Answer 1

分析 设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh得出h，再根据表面积公式得S=3ah+2•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²+$\frac{4\sqrt{3}{v}_{0}}{a}$，最后利用导函数即得底面边长．

解答 解：设底边边长为a，高为h，
则V=Sh=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²×h，
∴h=$\frac{4\sqrt{3}{v}_{0}}{3{a}^{2}}$，
则表面积为S=3ah+2•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²+$\frac{4\sqrt{3}{v}_{0}}{a}$，
则令S′=$\sqrt{3}a$$-\frac{4\sqrt{3}{v}_{0}}{{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}（{a}^{3}-4{v}_{0}）}{{a}^{2}}$=0，
解得a=$\root{3}{4{v}_{0}}$即为所求边长．
故答案为：$\root{3}{4{v}_{0}}$

点评 本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题