Question

12．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-x，x＜0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）=t有3个不等根x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，则x₃-x₁的取值范围为（　　）

• A． （2，$\frac{5}{2}$]
• B． （2，$\frac{9}{4}$]
• C． （2，$\frac{11}{4}$]
• D． （2，3）

Answer 1

分析 作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-x，x＜0}\end{array}\right.$与y=t的图象，从而可得0＜t＜1，x₁=-t，x₃=$\frac{2+\sqrt{4-4t}}{2}$=1+$\sqrt{1-t}$；从而可得x₃-x₁=1+$\sqrt{1-t}$+t=-（$\sqrt{1-t}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$；从而解得．

解答 解：作函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，x≥0}\\{-x，x＜0}\end{array}\right.$与y=t的图象如下，

结合图象可知，0＜t＜1；
x₁=-t，x₃=$\frac{2+\sqrt{4-4t}}{2}$=1+$\sqrt{1-t}$，
故x₃-x₁=1+$\sqrt{1-t}$+t=-（$\sqrt{1-t}$-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{9}{4}$；
故2＜x₃-x₁≤$\frac{9}{4}$；
故选：B．

点评 本题考查了学生作图的能力及数形结合的思想应用，同时考查了配方及换元法的应用，属于中档题．