Question

4．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，且该椭圆经过点$（\sqrt{3}，\frac{1}{2}）$．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过点P（-2，0）分别作斜率为k₁，k₂的两条直线，两直线分别与椭圆E交于M，N两点，当直线MN与y轴垂直时，求k₁•k₂的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得，2c=2$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}$=1；从而求椭圆E的方程；
（Ⅱ）由题意知，当k₁=0时，M点的纵坐标为0，点N的纵坐标为0，故不成立；当k₁≠0时，直线PM：y=k₁（x+2）；联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+4）y²-$\frac{4y}{{k}_{1}}$=0；从而解得y_M=$\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$；可得M（$\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），N（$\frac{2-8{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$）；从而可得（k₂-k₁）（4k₂k₁-1）=0，从而解得．

解答 解：（Ⅰ）由题意得，2c=2$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}+\frac{\frac{1}{4}}{{b}^{2}}$=1；
解得，a²=4，b²=1；
故椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由题意知，当k₁=0时，M点的纵坐标为0，
直线MN与y轴垂直，
则点N的纵坐标为0，
故k₂=k₁=0，这与k₂≠k₁矛盾．
当k₁≠0时，直线PM：y=k₁（x+2）；
由$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得，
（$\frac{1}{{{k}_{1}}^{2}}$+4）y²-$\frac{4y}{{k}_{1}}$=0；
解得，y_M=$\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$；
∴M（$\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$），
同理N（$\frac{2-8{{k}_{2}}^{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{4{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$），
由直线MN与y轴垂直，则$\frac{4{k}_{1}}{1+4{{k}_{1}}^{2}}$=$\frac{4{k}_{2}}{1+4{{k}_{2}}^{2}}$；
∴（k₂-k₁）（4k₂k₁-1）=0，
∴k₂k₁=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了椭圆方程的求法及椭圆与直线的位置关系的判断与应用，属于中档题．