Question

14．如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD是∠ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．
（Ⅰ）求证：CE•AB=AE•AC
（Ⅱ）若AD：DB=1：2，求证：CF=DF．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：△ACE∽△BCA，即可得出CE•AB=AE•AC
（Ⅱ）证明△ACF∽△BCD，AF=AD，即可证明CF=DF．

解答 （Ⅰ）证明：由C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，
得△ACE∽△BCA，
∴$\frac{CE}{AC}=\frac{AE}{AB}$，
∴CE•AB=AE•AC；                …（5分）
（Ⅱ）证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACF=∠BCD，
∵AC为圆的切线，∴∠CAE=∠CBD，
∴∠ACF+∠CAE=∠BCD+∠CBD，即∠AFD=∠ADF，∴AF=AD
∴△ACF∽△BCD，
∴$\frac{CF}{CD}=\frac{AF}{BD}=\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CF=DF．…（10分）

点评 本题考查圆周角定理，弦切角定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．