Question

9．已知函数f（x）=|x-4|+|x+5|．
（Ⅰ）试求不等式f（x）＞13的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可；（ II）a需且只需大于f（x）的最小值，问题转化为求出f（x）的最小值即可．

解答 解：（ I）f（x）=|x-4|+|x+5|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1，x≤-5}\\{9，-5＜x＜4}\\{2x+1，x≥4}\end{array}\right.$，
x≤-5时，-2x-1＞13，解得：x＜-7，
x≥4时，2x+1＞13，解得：x＞6，
所以原不等式的解集为{x|x＜-7或x＞6}；
（ II）由题意知，a需且只需大于f（x）的最小值，
而f（x）=|x-4|+|x+5|≥|（x-4）-（x-5）|=9，
故a＞9，
∴a的取值范围是：（9，+∞）．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质，考查转化思想，分类讨论思想，是一道基础题．