Question

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b²+c²=a²+$\sqrt{3}$bc．sinAsinB=cos²$\frac{C}{2}$．
（1）求角A，B，C的大小；
（2）若BC边上的中线AM的长为$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由b²+c²=a²+$\sqrt{3}$bc，利用余弦定理可得：cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得A=$\frac{π}{6}$．利用sinAsinB=cos²$\frac{C}{2}$．可得$\frac{1}{2}sinB=\frac{cosC+1}{2}$，化为$sinB=cos（\frac{5π}{6}-B）+1$，解得B，进而得到C．
（2）如图所示，设AC=2x，则CM=x．在△ACM中，由余弦定理可得：解得x．利用S_△ABC=$\frac{1}{2}A{C}^{2}sinC$即可得出．

解答 解：（1）∵b²+c²=a²+$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}bc}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{6}$，
∵sinAsinB=cos²$\frac{C}{2}$．
∴$\frac{1}{2}sinB=\frac{cosC+1}{2}$，
化为$sinB=cos（\frac{5π}{6}-B）+1$，
∴$sinB=-\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB$+1，
∴$\frac{1}{2}sinB+\frac{\sqrt{3}}{2}cosB$=1，
∴$sin（B+\frac{π}{3}）$=1，∵$B∈（0，\frac{5π}{6}）$，∴$（B+\frac{π}{3}）$∈$（\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}）$，
∴$B+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，∴B=$\frac{π}{6}$．
∴C=π-A-B=$\frac{2π}{3}$．
（2）如图所示，设AC=2x，则CM=x．
在△ACM中，由余弦定理可得：AM²=AC²+CM²-2AC•CM•cosC，
∴7=4x²+x²-$4{x}^{2}cos\frac{2π}{3}$，化为x²=1，解得x=1．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}A{C}^{2}sin\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理的应用、两角和差的正弦公式、倍角公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．