Question

6．已知向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为60°，且|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=2，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，则实数λ的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根据向量的数量积以及向量垂直的定义和关系建立方程关系即可得到结论．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为60°，且|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|=2，
∴向量$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$||$\overrightarrow{AC}$|cos60°=2×2×$\frac{1}{2}$=2，
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=（λ$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，
即λ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=0，
则λ$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）+$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=0，
即λ$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-λ$\overrightarrow{AB}$²+$\overrightarrow{AC}$²-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
则2λ-4λ+4-2=0，
2λ=2，解得λ=1，
故选：B．

点评 本题主要考查平面向量的数量积的应用以后平面向量的基本定理的应用，根据向量垂直的等价关系建立方程是解决本题的关键．