Question

11．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为$\frac{1}{2}$，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（Ⅰ）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（Ⅱ）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）X可能的取值为10，20，100，-200．运用几何概率公式得出求解相应的概率，得出分布列．
（Ⅱ）利用对立事件求解得出P（A₁）=P（A₂）=P（A₃）=P（X=-200）=$\frac{1}{8}$，求解P（A₁A₂A₃）即可得出1-P（A₁A₂A₃）．

解答 解：（1）X可能的取值为10，20，100，-200．根据题意，有
P（X=10）=${C}_{3}^{1}$×（$\frac{1}{2}$）¹×（1-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{3}{8}$，
P（X=20）=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{1}{2}$）²×（1-$\frac{1}{2}$）¹=$\frac{3}{8}$，
P（X=100）=${C}_{3}^{3}$×（$\frac{1}{2}$）³×（1-$\frac{1}{2}$）⁰=$\frac{1}{8}$，
P（X=-200）=${C}_{3}^{0}$×（$\frac{1}{2}$）⁰×（1-$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$．
以X的分布列为：

X	10	20	100	-200
P	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{8}$

（Ⅱ）解：设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A_i（i=1，2，3），则
P（A₁）=P（A₂）=P（A₃）=P（X=-200）=$\frac{1}{8}$，
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P（A₁A₂A₃）=1-（$\frac{1}{8}$）³=$\frac{511}{512}$．
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是$\frac{511}{512}$．

点评 本题考查了离散型的概率分布问题，几何互斥事件，对立事件概率求解即可，属于中档题，准确计算，思路清晰．