Question

20．已知函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{3|{x+1}|-5，（x≤0）}\\{lnx，\;（x＞0）}\end{array}}\right.$，若函数y=f（x）-kx+2恰有3个零点，则实数k的取值范围为{k|-3＜k≤0或k=e}．

Answer 1

分析 作函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{3|{x+1}|-5，（x≤0）}\\{lnx，\;（x＞0）}\end{array}}\right.$与函数y=kx-2的图象，结合图象写出实数k的取值范围．

解答 解：作函数$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{3|{x+1}|-5，（x≤0）}\\{lnx，\;（x＞0）}\end{array}}\right.$与函数y=kx-2的图象如下，

结合图象可知，由l₁与y=lnx相切，设切点为（x，lnx）；
则$\frac{lnx+2}{x}$=$\frac{1}{x}$；
解得，x=$\frac{1}{e}$；故${k}_{{l}_{1}}$=e；
${k}_{{l}_{2}}$=0，${k}_{{l}_{3}}$=-3；
故实数k的取值范围为{k|-3＜k≤0或k=e}；
故答案为：{k|-3＜k≤0或k=e}．

点评 本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用，同时考查了导数的几何意义及数形结合的思想应用，属于中档题．