Question

13．湖南卫视“我是歌手”这个节目深受广大观众喜爱，节目每周直播一次，在某周比赛中歌手甲、乙、丙竞演完毕，现场的某4位大众评审对这3位歌手进行投票，每位大众评审只能投一票且把票投给任一歌手是等可能的，求：
（Ⅰ）恰有2人把票投给歌手甲的概率；
（Ⅱ）投票结束后得票歌手的个数ζ的分布列与期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用古典概型或相互独立事件同时发生的概率计算公式能求“恰有2人把票投给歌手甲”的概率；
（Ⅱ）由已知条件推导出ζ的可能取值，分别求出相对应的概率，由此能求出ζ的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）解法一：所有可能的投票方式有3⁴种，恰有2人把票投给歌手甲的方式${C_4}^2•{2^2}$种，从而恰有2人把票投给歌手甲的概率为$\frac{{{C_4}^2•{2^2}}}{3^4}=\frac{8}{27}$…（5分）
解法二：设对每位投票人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验．
记“把票投给歌手甲”为事件ζ，则$P（A）=\frac{1}{3}$，
从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人把票投给歌手甲的概率为：${P_4}（2）={C_4}^2{（\frac{1}{3}）^2}{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{8}{27}$；
（Ⅱ）ξ的所有可能值为：1，2，3，
则P（ξ=1）=$\frac{3}{{3}^{4}}$=$\frac{1}{27}$，P（（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}（{2}^{4}-2）}{{3}^{4}}$=$\frac{14}{27}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{2}{A}_{3}^{3}}{{3}^{4}}$=$\frac{4}{9}$，…（11分）
综上知，ξ的分布列为：

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{14}{27}$	$\frac{4}{9}$

Eξ=1×$\frac{1}{27}$+2×$\frac{14}{27}$+3×$\frac{4}{9}$=$\frac{65}{27}$．…（12分）

点评 本题考查求离散型随机变量的分布列以及数学期望等有关知识．求出随机变量ζ所有可能的取值的概率，是解题的难点．