Question

18．某班级艺术团的成员唱歌、跳舞至少擅长一项，已知擅长唱歌的有5人，擅长跳舞的有4人，设从艺术社团的成员中随机选2人，每位成员被选中的概率相等，选出的人中既擅长唱歌又擅长跳舞的人数为X，且P（X＞0）=$\frac{4}{5}$，求：
（Ⅰ）该班级艺术社团的人数；
（Ⅱ）随机变量X的均值E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设艺术社团既擅长唱歌又擅长跳舞共有x人，则艺术社团有（9-x）人，那么唱歌、跳舞只擅长一项的人数为（9-2x）人，利用P（X＞0）=$\frac{4}{5}$，建立方程，即可求得艺术社团的人数；
（Ⅱ）先确定艺术社团有6人，既擅长唱歌又擅长跳舞共有3人，X的可能取值为0，1，2，计算概率，即可求得数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设艺术社团既擅长唱歌又擅长跳舞共有x人，则艺术社团有（9-x）人，那么唱歌、跳舞只擅长一项的人数为（9-2x）人…（2分）
∵P（X＞0）=P（X≥1）=1-P（X=0）=$\frac{4}{5}$，∴1-$\frac{{C}_{9-2x}^{2}}{{C}_{9-x}^{2}}$=$\frac{4}{5}$…（4分）
整理为：19x²-153x+288=0，∴x=3，
∴9-x=6，即艺术社团有6人…（6分）
（Ⅱ）依（Ⅰ）有：艺术社团有6人，既擅长唱歌又擅长跳舞共有3人．
X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$；P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$…（10分）
∴EX=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的概率与期望，解题的关键是正确求出概率，利用期望公式求解．