Question

9．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线l过点F₂与椭圆交于A、B两点，且△F₁AB的周长为4$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l使△F₁AB的面积为$\frac{4}{3}$？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）运用离心率公式和椭圆的定义，可得a，c，求出b，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）假设存在直线l，使△F₁AB的面积为$\frac{4}{3}$．求出椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的焦点，设直线l：x=1或y=k（x-1），代入椭圆方程，消去y，运用韦达定理，再由三角形的面积为$\frac{1}{2}$×2×|y₁-y₂|=$\frac{4}{3}$，解方程即可得到k．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由△F₁AB的周长为4$\sqrt{2}$，根据椭圆的定义可得4a=4$\sqrt{2}$，
解得a=$\sqrt{2}$，
即有c=1，b=1，
则椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（Ⅱ）假设存在直线l，使△F₁AB的面积为$\frac{4}{3}$．
由椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），
设直线l：x=1或y=k（x-1），
当x=1时，y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，|AB|=$\sqrt{2}$，
△F₁AB的面积为$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，不成立；
由y=k（x-1）代入椭圆方程得，（1+2k²）x²-4k²x-2+2k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
即有|x₁-x₂|²=（$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）²-4×$\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$
则|y₁-y₂|=|k|•|x₁-x₂|=|k|•$\frac{\sqrt{8（1+{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$，
即有△F₁AB的面积为$\frac{1}{2}$×2×|y₁-y₂|=$\frac{4}{3}$，
解得k²=1或-2（舍去）．
即有k=±1．
故存在直线l：y=±（x-1），使△F₁AB的面积为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查定义法和直线方程与椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积的求法，属于中档题．考查学生解决问题的能力．