Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AB=AP=2，AD=4，E，F依次是PB，PC的中点．
（1）求证：AD⊥平面PAB；
（2）建立适当的空间直角坐标系，求直线EC与平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD．由矩形ABCD，AD⊥AB，即可证明AD⊥平面PAB．
（2）分别AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，取平面PAD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），设直线EC与平面PAD所成角为α，则sinα=$|cos＜\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{n}|}$，即可得出．

解答 （1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PA⊥AD．
由矩形ABCD，AD⊥AB，
又AB∩AP=A，∴AD⊥平面PAB．
（2）解：分别AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，2）．
∴E（1，0，1），F（1，2，1），$\overrightarrow{EC}$=（1，4，-1），
取平面PAD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
设直线EC与平面PAD所成角为α，
则sinα=$|cos＜\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{18}×1}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．
∴直线EC与平面PAD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、线面角的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．