Question

2．如图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB=60°，边长为a．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ=45°．

Answer 1

分析 取AD的中点G，连结PG、BG、BD．正△PAD中利用“三线合一”，证出PG⊥AD，结合平面PAD⊥平面ABCD，得到PG⊥平面ABCD，可得∠PBG就是直线BP与平面ABCD所成角．再根据△ABD是与△PAD全等的正三角形，证出Rt△PBG中，是等腰直角三角形，可得∠PBG=45°，即得直线BP与平面ABCD所成角的大小；

解答 取AD的中点G，连结PG、BG、BD，
∵正△PAD中，PG为中线，∴PG⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD，可得∠PBG就是直线BP与平面ABCD所成角，
∵在底面菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴△ABD是与△PAD全等的正三角形，
∴Rt△PBG中，PG=BG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，可得∠PBG=45°，
即直线BP与平面AC所成角的大小为45°；
故答案为：45°．

点评 本题在特殊四棱锥中求直线与平面所成角的大小，并探索面面垂直的存在性，着重考查了面面平行、面面垂直的位置关系判定和线面所成角大小求法等知识，属于中档题．