Question

1．若曲线f（x）在点A（x₁，y₁）处切线的斜率为k_A，曲线y=g（x）在点B（x₂，y₂）处切线的斜率为k_B（x₁≠x₂），将$\frac{|{k}_{A}-{k}_{B}|}{|AB|}$的值称为这两曲线在A，B间的“异线曲度”，记作φ（A，B），现给出以下四个命题：
①已知曲线f（x）=x³，g（x）=x²-1，且A（1，1），B（2，3），则φ（A，B）＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
②存在两个函数y=f（x），y=g（x），其图象上任意两点间的“异线曲度”为常数；
③已知抛物线f（x）=x²+1，g（x）=x²，若x₁＞x₂＞0，则φ（A，B）＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
④对于曲线f（x）=e^x，g（x）=e^-x，当x₁-x₂=1时，若存在实数t，使得t•φ（A，B）＞1恒成立，则t的取值范围是[1，+∞]．
其中正确命题的个数是②③．

Answer 1

分析 ①根据新定义，判断φ（A，B）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得出①错误；
②举例说明存在φ（A，B）=0是常数，得出②正确；
③验证φ（A，B）＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，判断③正确；
④判断φ（A，B）对t•φ（A，B）＞1恒成立时，t的取值范围是什么，得出④错误．

解答 解：对于①，∵f（x）=x³g（x）=x²-1，∴f′（x）=3x²，g′（x）=2x
∴k_A=3×1²=3，k_B=2×2=4，且|k_A-k_B|=1，
则|AB|=$\sqrt{{（2-1）}^{2}{+（3-1）}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
φ（A，B）=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，①错误；
对于②，如f（x）=c₁，g（x）=c₂，且c₁≠c₂时，
存在不同的两点A、B，使k_A=k_B=0，∴φ（A，B）=0是常数，②正确；
对于③，∵f（x）=x²+1g（x）=x²
∴φ（A，B）=$\frac{{|k}_{A}{-k}_{B}|}{|AB|}$
=$\frac{|{2x}_{1}-{2x}_{2}|}{\sqrt{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}{+{{（x}_{1}}^{2}+1{{-x}_{2}}^{2}）}^{2}}}$
=$\frac{2}{\sqrt{1{+（\frac{{{x}_{1}}^{2}+1{{-x}_{2}}^{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}）}^{2}}}$
=$\frac{2}{\sqrt{1{+[{（x}_{1}{-x}_{2}）+\frac{1}{{x}_{1}-{x}_{2}}+{2x}_{2}]}^{2}}}$≤$\frac{2}{\sqrt{1{+（2+{2x}_{2}）}^{2}}}$＜$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴③正确；
对于④，由f（x）=e^x，得f′（x）=e^x，
g（x）=e^-x，得g′（x）=-e^-x，
∴φ（A，B）=$\frac{{|e}^{{x}_{1}}{+e}^{-{x}_{2}}|}{\sqrt{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}{+{（e}^{{x}_{1}}{-e}^{{-x}_{2}}）}^{2}}}$=$\frac{{|e}^{{x}_{1}}{+e}^{{-x}_{2}}|}{\sqrt{1{+{（e}^{{x}_{1}}{-e}^{{-x}_{2}}）}^{2}}}$，
t•φ（A，B）＞1恒成立，即t|${e}^{{x}_{1}}$+${e}^{{-x}_{2}}$|＞$\sqrt{1{+{（e}^{{x}_{1}}{-e}^{{-x}_{2}}）}^{2}}$ 恒成立，
∴t=$\frac{\sqrt{1{+{（e}^{{x}_{1}}{-e}^{-{x}_{2}}）}^{2}}}{|{e}^{{x}_{1}}{+e}^{{-x}_{2}}|}$=$\sqrt{\frac{1{+{（e}^{{x}_{1}}{-e}^{-{x}_{2}}）}^{2}}{{{（e}^{{x}_{1}}{+e}^{{-x}_{2}}）}^{2}}}$＞1，∴④错误．
故答案为：②③．

点评 本题考查了新定义的函数的性质与应用问题，解题时应根据函数的新定义的内容进行分析、判断，选出符合题意的答案，是较难的题目．