Question

13．如图1，在等腰梯形PDCB中，DC∥PB，PB=3DC=3，PD=$\sqrt{2}$，DA⊥PB，垂足为A，将△PAD沿AD折起，使得PA⊥AB，得到四棱锥P-ABCD如图2．

（1）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（2）点必在棱PB上，平面AMC把四棱锥P-ABCD分成两个几何体，当这两个几何体的体积之比$\frac{{V}_{PM-ACD}}{{V}_{M-ABC}}$=2时，求点B到平面AMC的距离．

Answer 1

分析 （1）利用已知判断DC⊥平面PAD，利用面面垂直的判定定理可证；
（2）已知得到平面PAB⊥平面ABCD，过M作MN⊥AB，垂足为N，则MN⊥平面ABCD，由三棱锥体积的关系判断M是PB的中点，利用体积之间的关系，求点B到平面AMC的距离．

解答 （1）证明：∵在等腰梯形PDCB中，DA⊥PB，
∴在四棱锥P-ABCD中，DA⊥AB，DA⊥PA，
又PA⊥AB，DC∥AB
∴DC⊥PA，DC⊥DA，
∴DC⊥平面PAD
∵DC?平面PCD
∴平面PAD⊥平面PCD…（4分）
（2）解：∵DA⊥PA且PA⊥AB，
∴PA⊥平面ABCD，
又PA?平面PAB∴平面PAB⊥平面ABCD，
过M作MN⊥AB，垂足为N，则MN⊥平面ABCD．
依据题意，${V_{M-ABC}}=\frac{1}{3}{V_{P-ABCD}}$，而V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S_{ABCD}}•PA=\frac{1}{2}$，
∴V_M-ABC=$\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•MN$=$\frac{1}{6}$
又易知$AC=BC=\sqrt{2}$，AB=2
∴AC²+BC²=AB²即AC⊥BC
∴S_△ABC=1
∴MN=$\frac{1}{2}$，故$MN=\frac{1}{2}PA$，
所以M是PB的中点．…（8分）
由AC⊥BC，PA⊥BC得BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC．
在直角三角形PAB、PBC中$CM=AM=\frac{1}{2}PB=\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，又$AC=\sqrt{2}$，故可求得${S_{△MAC}}=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．
设B到平面MAC的距离为d，则由$\frac{1}{3}{S_{△MAC}}•d$=$\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•MN=\frac{1}{6}$得：$d=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（12分）

点评 本题考查了面面垂直的判定定理运用，关键是转化为线面垂直证明．