Question

2．在四面体ABCD中，EFGH分别是AB、AC、DC、DB的中点．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）设P∈AD，Q∈BC，求证：PQ被平面EFGH平分；
（3）平面EFGH是否将该四面体的体积二等分？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得EH∥CD，FG∥CD，从而EH∥FG，同理EF∥GH，可得四边形EFGH是平行四边形；
（2）设PQ∩平面EFGH=N，连接PC，设PC∩EF=M，△PCQ所在平面∩平面EFGH=MN，CQ∥MN，由此能证明PQ被平面EFGH平分；
（3）利用分割法，证明C-EFGH的体积+C-BEH的体积=A-EFGH的体积+D-AGH的体积即可．

解答 证明：（1）∵E，F，G，H分别是AB、AC、DC、DB的中点，
∴EH∥AD，FG∥AD，
∴EH∥FG，
同理EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）设PQ∩平面EFGH=N，连接PC，设PC∩GF=M，
△PCQ所在平面∩平面EFGH=MN，
∵CQ∥平面EFGH，CQ?平面PCQ，
∴CQ∥MN，
∵FG是△ADC是的中位线，
∴M是PC的中点，则N是PQ的中点，
∴PQ被平面EFGH平分；
（3）面EFGH与AD、BC都平行，又E，F，G，H分别是AB、AC、DC、DB的中点，
∴AD、BC到面EFGH的距离相等，
∵A-EFGH和C-EFGH是同底等高的四棱锥，∴V_A-EFGH=V_C-EFGH，
∵G是CD的中点，∴点C到BEH的距离a是点G到面ADH的距离b的2倍，得：a=2b．
∵H是DB的中点，∴△BEH的面积=$\frac{1}{2}$△ADH的面积，
∴V_C-BEH=V_D-AGH．
∴V_C-EFGH+V_C-BEH=V_A-EFGH+V_D-AGH．．
上式的左右两边正是被EFGH分割的两部分体积，于是问题得证．

点评 本题考查E、F、G、H共面，考查PQ被平面EFGH平分的证明，考查体积的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．