Question

15．设定义域为R的函数f（x）满足以下条件：①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；②对任意x₁，x₂∈[1，a]，当x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁），则下列不等式一定成立的是（　　）
①f（a）＞f（0）
②f（$\frac{1+a}{2}$）＞f（$\sqrt{a}$）  
③f（$\frac{1-3a}{1+a}$）＞f（-3）
④f（$\frac{1-3a}{1+a}$）＞f（-a）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 由已知条件：①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，可知：函数f（x）是奇函数；②对任意x₁，x₂∈[1，a]，当x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁），可知：函数f（x）在x∈[1，a]上单调递增．利用奇偶数与单调性即可判断出正误．

解答 解：由已知条件：①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0，可知：函数f（x）是奇函数；②对任意x₁，x₂∈[1，a]，当x₂＞x₁时，有f（x₂）＞f（x₁），可知：函数f（x）在x∈[1，a]上单调递增．
对于①由于f（a）与0的大小关系没有给出，因此f（a）＞f（0）=0，不一定正确；
对于②∵$\frac{1+a}{2}＞\sqrt{a}＞1$，∴f（$\frac{1+a}{2}$）＞f（$\sqrt{a}$），正确；
对于③f（$\frac{1-3a}{1+a}$）＞f（-3）?-$f（\frac{3a-1}{1+a}）＞-f（3）$?$f（\frac{3a-1}{1+a}）$＜f（3），
由$3-\frac{3a-1}{1+a}$=$\frac{4}{1+a}$＞0，$\frac{3a-1}{1+a}-1$=$\frac{2（a-1）}{1+a}$＞0，
∴$3＞\frac{3a-1}{1+a}＞1$，而3与a的大小关系没有确定，因此$f（\frac{3a-1}{1+a}）$＜f（3）不一定正确；
对于④f（$\frac{1-3a}{1+a}$）＞f（-a）?$f（\frac{3a-1}{1+a}）＜$f（a），而$a-\frac{3a-1}{1+a}$=$\frac{（a-1）^{2}}{1+a}$＞0，∴$f（\frac{3a-1}{1+a}）＜$f（a），1＜$\frac{3a-1}{1+a}$＜a，
∴④正确．
综上只有：②④正确．
故选：B．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性与奇偶数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．