Question

6．如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内销售请客的某项指标统计：
（1）求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性；
（2）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行对比分析，共选了3次（有放回选取），设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）先根据茎叶图写出甲乙连锁店各自的数据，容易求得这两组数据的平均数都为8，从而可带入求方差的公式求出甲乙连锁店这项指标的方差，方差小的便稳定性好；
（2）先求出从甲乙两种数据中各随机选一个，甲的数据大于乙的数据的概率为$\frac{3}{8}$，这种选取方式是有放回的选取，从而便知道X服从二项分布B（3，$\frac{3}{8}$），X可取0，1，2，3，求出每个数对应的概率从而列出X的分布列，根据二项分布的数学期望公式即可求出E（X）．

解答 解：（1）由茎叶图可知，甲连锁店的数据是6，7，9，10；
乙连锁店的数据是5，7，10，10；
∴甲乙数据的平均值为8，设甲的方差为${{S}_{1}}^{2}$，乙的方差为${{S}_{2}}^{2}$，则：
${{S}_{1}}^{2}=\frac{1}{4}[（6-8）^{2}+（7-8）^{2}+（9-8）^{2}+（10-8）^{2}]=\frac{5}{2}$，${{S}_{2}}^{2}=\frac{1}{4}[（5-8）^{2}+（7-8）^{2}+（10-8）^{2}+（10-8）^{2}]=\frac{9}{2}$；
∵${{S}_{1}}^{2}＜{{S}_{2}}^{2}$；
∴甲连锁店该项指标稳定；
（2）从甲乙两种数据中各随机选一个，甲的数据大于乙的数据的概率为$\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$；
由已知X服从B（3，$\frac{3}{8}$）；
X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{125}{512}$	$\frac{225}{512}$	$\frac{135}{512}$	$\frac{27}{512}$

数学期望E（X）=3×$\frac{3}{8}=\frac{9}{8}$．

点评 考查方差的概念及计算公式，方差的大小和稳定性的关系，古典概型的求解方法，二项分布的概念及它的数学期望的求解公式，以及离散型随机变量X的分布列的概念．