Question

4．求函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域．

Answer 1

分析 利用换元法令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），从而可得-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，从而可得f（x）=sinx+cosx+sinxcosx=t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t²+2t-1）=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1；从而求函数的值域．

解答 解：令t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
则-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，t²=1+2sinxcosx，
则sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
则f（x）=sinx+cosx+sinxcosx
=t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t²+2t-1）
=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1；
∵-$\sqrt{2}$≤t≤$\sqrt{2}$，
∴-1≤$\frac{1}{2}$（t+1）²-1≤$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$；
故函数f（x）=sinx+cosx+sinxcosx的值域为[-1，$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查了换元法与配方法求函数的值域，属于基础题．