Question

16．要从12人中选出5人去参加一项活动，按下列要求，有多少种不同选法
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
（2）甲、乙、丙不能当选；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；
（4）甲、乙、丙只有一人当选；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选；
（6）甲、乙、丙至少1人当选．

Answer 1

分析 （1）甲、乙、丙三人必须当选，再从剩下的9人选2人即可种；
（2）甲、乙、丙不能当选，再从剩下的9人选5人即可种；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选，再从剩下的9人选4人即可；
（4）甲、乙、丙只有一人当选，再从剩下的9人选4人即可；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选，利用间接法，从12人中选出5人，再排除甲、乙、丙三人必须当选即可；
（6）甲、乙、丙至少1人当选，利用间接法，从12人中选出5人，再排除甲、乙、丙不能当选即可；

解答 解：（1）甲、乙、丙三人必须当选，再从剩下的9人选2人，故有${C}_{9}^{2}$=36种；
（2）甲、乙、丙不能当选，再从剩下的9人选5人，故有${C}_{9}^{5}$=126种；
（3）甲必须当选，乙、丙不能当选，再从剩下的9人选4人，故有${C}_{9}^{4}$=126种；
（4）甲、乙、丙只有一人当选，再从剩下的9人选4人，故有${C}_{3}^{1}$•${C}_{9}^{4}$=378种；
（5）甲、乙、丙三人至多2人当选，利用间接法，从12人中选出5人，再排除甲、乙、丙三人必须当选，故有${C}_{12}^{5}$-${C}_{9}^{2}$=756种；
（6）甲、乙、丙至少1人当选，利用间接法，从12人中选出5人，再排除甲、乙、丙不能当选，故有${C}_{12}^{5}$-${C}_{9}^{5}$=666种；

点评 本题考查组合的问题，关键掌握需要满足的条件，属于基础题．