Question

5．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知 AB=BC=1，CC₁=2，AC₁与平面 BCC₁B₁所成角为30°，AB⊥平面BB₁C₁C．
（Ⅰ）求证：BC⊥AC₁；
（Ⅱ）求三棱锥A-A₁B₁C₁的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接BC₁，从而可得∠AC₁B=30°，且$B{C^2}+B{C_1}^2=C{C_1}^2$，从而可证明CB⊥平面ABC₁，从而证明；
（Ⅱ）由三棱锥与三棱柱的关系知，${V_{A-{A_1}{B_1}{C_1}}}={V_{A-B{C_1}{B_1}}}=\frac{1}{3}AB•{S_{△B{C_1}{B_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，且${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；从而求高．

解答 解：（Ⅰ）证明：连接BC₁，
∵AB⊥平面BCC₁B₁，
∴∠AC₁B=30°．
∵AB=1，
∴$B{C_1}=\sqrt{3}$；
∵BC=1，CC₁=2，
∴$B{C^2}+B{C_1}^2=C{C_1}^2$，
即∠CBC₁=90°．
∵CB⊥AB，CB⊥BC₁，
∴CB⊥平面ABC₁，
∴BC⊥AC₁；
（Ⅱ）解：∵${V_{A-{A_1}{B_1}{C_1}}}={V_{A-B{C_1}{B_1}}}=\frac{1}{3}AB•{S_{△B{C_1}{B_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$；
∴三棱锥A-A₁B₁C₁的高H=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了学生的空间想象力与作图能力的运用，同时考查了体积的运算与应用，属于基础题．