Question

15．如图，已知四边形AA₁C₁C和AA₁B₁B都是菱形，平面AA₁B₁B和平面AA₁C₁C互相垂直，且∠ACC₁=∠BAA₁=60°，AA₁=2
（Ⅰ）求证：AA₁⊥BC₁；
（Ⅱ）求四面体A-CC₁B₁的体积；
（Ⅲ）求二面角C-AB-C₁的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AA₁的中点为O，连接OB，通过已知条件及线面垂直的判定定理即得结论；
（2）利用三角形CC₁B₁和CC₁B面积相等，通过体积公式计算即可；
（3）以O为坐标原点，分别以OA₁，OC₁，OB为x轴，y轴，z轴建立坐标系，利用平方关系，通过计算平面ABC的法向量与平面ABC₁的法向量的夹角的余弦值即可．

解答 （1）证明：设AA₁的中点为O，连接OB，
∵四边形AA₁C₁C和AA₁B₁B都是菱形，且∠ACC₁=∠BAA₁=60°，
∴三角形AA₁B和三角形AA₁C₁都是等边三角形，
所以OB⊥OC₁，
又∵OB∩OC₁=O，∴AA₁⊥平面OBC₁，
所以AA₁⊥BC₁；
（2）解：∵三角形CC₁B₁和CC₁B面积相等，
∴${V_{A-C{C_1}{B_1}}}$=${V_{A-C{C_1}{B_{\;}}}}={V_{B-C{C_1}{A_{\;}}}}=\frac{1}{3}{S_{AC{C_1}}}OB=1$，
∴四面体A-CC₁B₁的体积为1；
（3）解：由（1）知AA₁⊥OB，
又∵平面AA₁B₁B和平面AA₁C₁C互相垂直，
∴OB⊥平面AA₁C₁C，
∴OA₁，OC₁，OB，三条直线两两垂直，
以O为坐标原点，分别以OA₁，OC₁，OB为x轴，y轴，z轴建立坐标系如图，
则$A（-1，0，0），B（0，0，\sqrt{3}），C（-2，\sqrt{3}，0）$，${C_1}（0，\sqrt{3}，0）$，
∴$\overrightarrow{AB}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
设平面ABC，ABC₁的法向量$\overrightarrow m，\overrightarrow n$的坐标分别为（a，b，c），（a₁，b₁，c₁），
由$\overrightarrow m⊥\overrightarrow{AB}，\overrightarrow m⊥\overrightarrow{AC}$，可得$a+\sqrt{3}c=0，-a+\sqrt{3}b=0$，
所以可取$\overrightarrow m=（\sqrt{3}，1，-1）$，
同理可取$\overrightarrow n=（\sqrt{3}，-1，-1）$，
∴$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{3}{5}$，
所以二面角C-AB-C₁的正弦值为$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的计算，考查四面体的体积公式，考查空间想象能力，计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．