Question

5．在多面体ABCDE中，CD⊥平面ABC，BE∥CD，AB=2$\sqrt{5}$，AC=4，BC=2，CD=4，BE=1．
（1）求证：平面ADC⊥平面BCDE；
（2）试问在线段DE上是否存在点S，使得AS与平面ADC所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{5}}{7}$？若存在，确定S的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用线面垂直得到线线垂直，进一步得到线面垂直，最后利用面面垂直的判定定理求出结果．
（2）首先假设点S存在，进一步求出线面的夹角，进一步利用解直角三角形知识求出关于线面夹角的余弦值，最后求出点S存在．

解答 证明：（1）在多面体ABCDE中，CD⊥平面ABC，
所以：CD⊥AC，
在△ABC中，AB=2$\sqrt{5}$，AC=4，BC=2，
所以：AB²=AC²+BC²
则：△ABC是直角三角形．
所以：AC⊥BC．
则：AC⊥平面CBED．
AC?平面ACD，
所以：平面ADC⊥平面BCDE．
（2）假设在线段DE上存在点S，使得AS与平面ADC所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{5}}{7}$．
所以：过点S做GS⊥CD于点G，过E作EF∥BC交CD于点H，
设GD=x，
所以：DH=3，
由于GS∥HE，
则：$\frac{GD}{DH}=\frac{GS}{HE}$，
解得：GS=$\frac{2}{3}x$，
在△ACG中，利用勾股定理：AG=$\sqrt{{4}^{2}+（4-{x）}^{2}}$，
在Rt△AGS中，进一步利用勾股定理：AS=$\sqrt{（\frac{2x}{3}）^{2}+{4}^{2}+（4-{x）}^{2}}$
则：cos∠GAS=$\frac{AG}{AS}$=$\frac{\sqrt{{4}^{2}+{（4-x）}^{2}}}{\sqrt{{（\frac{2x}{3}）}^{2}+{4}^{2}+{（4-x）}^{2}}}=\frac{3\sqrt{5}}{7}$，
整理得：x²+2x-8=0，
解得：x=2，
所以：S在$DS=\frac{2}{3}DE$处，使得AS与平面ADC所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{5}}{7}$．

点评 本题考查的知识要点：线面垂直的判定，面面垂直的判定定理的应用，勾股定理逆定理的应用，线面夹角的应用，存在性问题的应用，主要考查学生的空间想象能力和运算能力．