Question

10．已知数列{a_n}共有5项，满足a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅≥0，且对任意i、j（1≤i≤j≤5），有a_i-a_j仍是该数列的某一项，现给出下列4个命题：
（1）a₅=0；
（2）4a₄=a₁；
（3）数列{a_n}是等差数列；
（4）集合A={x|x=a_i+a_j，1≤i≤j≤5}中共有9个元素．
则其中真命题的序号是（　　）

• A． （1）、（2）、（3）、（4）
• B． （1）、（4）
• C． （2）、（3）
• D． （1）、（3）、（4）

Answer 1

分析 1≤i≤j≤5），有a_i-a_j仍是该数列的某一项，因此0∈{a_n}，由于a₄-a₅=a₄∈{a_n}，（a₄＞0），可得a₃-a₄=a₄，即a₃=2a₄，以此类推可得：a₂=3a₄，a₁=4a₄．
即可判断出结论．

解答 解：∵1≤i≤j≤5），有a_i-a_j仍是该数列的某一项，
∴a_i-a_i=0，
∴当a₅=0时，
则a₄-a₅=a₄∈{a_n}，（a₄＞0）．
必有a₃-a₄=a₄，即a₃=2a₄，
而a₂-a₃=a₃或a₄，
若a₂-a₃=a₃，则a₂-a₄=3a₄，而3a₄≠a₃，a₄，a₅，舍去；
若a₂-a₃=a₄∈{a_n}，此时a₂=3a₄，
同理可得a₁=4a₄．
可得数列{a_n}为：4a₄，3a₄，2a₄，a₄，0（a₄＞0）．
综上可得：（1）a₅=0；
（2）4a₄=a₁；
（3）数列{a_n}是等差数列；
（4）集合A={x|x=a_i+a_j，1≤i≤j≤5}={8a₄，7a₄，6a₄，5a₄，4a₄，3a₄，2a₄，a₄，0（a₄＞0）}中共有9个元素．
因此（1）（2）（3）（4）都正确．
故选：A．

点评 本题考查了等差数列的性质、新定义，考查了分析问题与解决问题的能力、推理能力与计算能力，属于难题．