Question

10．已知函数y=f（x）与y=f^-1（x）互为反函数，又y=f^-1（x+1）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，若f（x）=${log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}+2）$（x＞0），则g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²+2）-1（x＞0）．

Answer 1

分析 根据y=f^-1（x）向左平移1个单位得出y=f^-1（x+1），利用反函数的概念图象的对称性得出f（x）图象向下平移1个单位得出g（x）的图象，即可得出g（x）的解析式．

解答 解：y=f^-1（x）向左平移1个单位得出y=f^-1（x+1），
∵函数y=f（x）与y=f^-1（x）互为反函数
∴函数y=f（x）与y=f^-1（x）的图象关于直线y=x对称，
∵y=f^-1（x+1）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，
∴f（x）图象向下平移1个单位得出g（x）的图象，
∵f（x）=${log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}+2）$（x＞0），
∴g（x）=${log_{\frac{1}{2}}}（{x^2}+2）$-1（x＞0），
故答案为：g（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²+2）-1（x＞0）；

点评 本题考查了函数图象的对称性，平移问题，利用反函数的概念，图象的对称性的知识求解，知识综合较多，属于中档题．