Question

2．已知F₁、F₂是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，以BF₂为直径的圆D经过椭圆的上顶点A，且|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|=2|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，$\overrightarrow{{F}_{1}A}•\overrightarrow{BA}$=24．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设圆心在y轴上的圆M与椭圆在x轴的上方有两个交点P₁，P₂，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直且经过两个不同的焦点，求P₁P₂．

Answer 1

分析 （1）利用AB⊥AF₂且|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|=2|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，可得F₁为BF₂的中点，可得a，c的关系，再由向量的数量积的坐标表示，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设圆心在y轴上的圆C与椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1相交，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x₂=-x₁，y₁=y₂，|P₁P₂|=2|x₁|，由F₁P₁⊥F₂P₂，运用向量的数量积的坐标表示，计算可得x₁，进而得到|P₁P₂|．

解答 解：（1）由题意知F₁（-c，0），F₂（c，0），A（0，b）．
因为AB⊥AF₂，在Rt△ABF₂中，|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|=2|$\overrightarrow{A{F}_{1}}$|，
即有F₁为BF₂的中点，
又|AF₁|=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=a，|BF₂|=2a=4c，即a=2c．
即有B（-3c，0），$\overrightarrow{BA}$=（3c，b），$\overrightarrow{{F}_{1}A}$=（c，b），
$\overrightarrow{{F}_{1}A}•\overrightarrow{BA}$=24，即为3c²+b²=24，由a²-b²=c²，a=2c，
解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，
即有椭圆C方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）设圆心在y轴上的圆M与椭圆$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1相交，
P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是两个交点，
y₁＞0，y₂＞0，F₁P₁，F₂P₂是圆C的切线，且F₁P₁⊥F₂P₂，
由圆和椭圆的对称性，易知x₂=-x₁，y₁=y₂，|P₁P₂|=2|x₁|，
由（Ⅰ）知F₁（-2，0），F₂（2，0），
所以$\overrightarrow{{F}_{1}{P}_{1}}$=（x₁+2，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}{P}_{2}}$=（-x₁-2，y₁），
再由F₁P₁⊥F₂P₂，得-（x₁+2）²+y₁²=0，
由椭圆方程得12（1-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{16}$）=（x₁+2）²，即7x₁²+16x₁-32=0，
解得x₁=$\frac{-8+12\sqrt{2}}{7}$或x₁=$\frac{-8-12\sqrt{2}}{7}$．
故|P₁P₂|=2|x₁|=$\frac{24\sqrt{2}-16}{7}$或$\frac{24\sqrt{2}+16}{7}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于中档题．