Question

9．如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），据此解答如下问题．

（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；
（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为 X，求 X 的分布列和数学望期．

Answer 1

分析 （1）由茎叶图先分析出分数在[50，60）之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可得到全班人数，再由茎叶图求出数在[80，100]之间的频数，即可得到分数在[80，100]之间的频率；
（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.0125×10×32=4份．由题意，X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列和数学期望．

解答 解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为4，频率为0.0125×10=0.125，
∴全班人数为$\frac{4}{0.125}$人．
∴分数在[80，100]之间的频数为32-4-8-10=10，
∴分数在[80，100]之间的频率为$\frac{10}{32}$=0.3125；
（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.0125×10×32=4份．
由题意，X的取值为0，1，2，3，则
P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

数学期望E（X）=0×$\frac{1}{6}$+1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{30}$=1.2．

点评 本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，考查分布列和数学期望，频率分布直方图，茎叶图，是统计和概论比较综合的应用，学会用图并掌握相关的重要公式是解答的关键．