Question

9．已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）当a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，e）的有零点，求正数a的取值范围；
（Ⅲ）求证不等式${e^{\sum_{i=1}^n{\frac{i+1}{i^2}}}}＞n$对任意的正整数n都成立（其中e是自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=0时，求导数，确定切线的斜率，即可求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）求导数，令f'（x）=0，得$x=\frac{1}{a}$或$x=\frac{1}{2}$（舍去），分类讨论，确定函数的单调性，利用f（x）在区间（1，e）的有零点，求正数a的取值范围；
（Ⅲ）要证${e^{\sum_{i=1}^n{\frac{i+1}{i^2}}}}＞n$，只要证$\sum_{i=1}^{n}（\frac{1}{i}+\frac{1}{{i}^{2}}）＞lnn$，设$g（x）=ln（1-x）+x+{x^2}（0＜x≤\frac{1}{2}）$，确定单调性，即可证明结论．

解答 解：（Ⅰ）当a=0时，$f（x）=-2x+lnx，f'（x）=-2+\frac{1}{x}$．…（1分）
因为k=f'（1）=-1，f（1）=-2，
所以切线方程是y+2=-（x-1），即x+y+1=0…（2分）
（Ⅱ）由f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
得f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-（a+2）x+1}{x}$（x＞0）…（3分）
因为a＞0，故令f'（x）=0，得$x=\frac{1}{a}$或$x=\frac{1}{2}$（舍去）．…（4分）
（1）当$0＜\frac{1}{a}≤1$，即a≥1时，f（x）在（1，e）上单调递增，
所以f（1）＜f（x）＜f（e），而f（1）=-2＜0，f（e）=（e²-e）a-（2e-1）；…（5分）
要使f（x）在区间（1，e）的有零点，应有f（e）=（e²-e）a-（2e-1）＞0，解得$a＞\frac{2e-1}{{{e^2}-e}}$
由于$\frac{2e-1}{{{e^2}-e}}＜1$，故a≥1适合题意；…（6分）
（2）当$1＜\frac{1}{a}＜e$，即$\frac{1}{e}＜a＜1$时，在$[1，\frac{1}{a}]$上f'（x）＜0，f（x）单调递减，
在$[\frac{1}{a}，e]$上f'（x）＞0，f（x）单调递增，…（7分）
故$f（\frac{1}{a}）＜f（1）=-2＜0$，
与（1）同理有$a＞\frac{2e-1}{{{e^2}-e}}$，$\frac{1}{e}＜\frac{2e-1}{{{e^2}-e}}＜1$，
故$\frac{2e-1}{{{e^2}-e}}＜a＜1$适合题意．…（8分）
（3）当$\frac{1}{a}≥e$即$a≤\frac{1}{e}$时，f（x）在（1，e）上单调递减，
所以，在（1，e）上f（x）＜f（1）=-2＜0，不合题意．
综上（1）（2）（3）可知，正数a的取值范围是$（\frac{2e-1}{{{e^2}-e}}，+∞）$．…（9分）
（Ⅲ）证明：要证${e^{\sum_{i=1}^n{\frac{i+1}{i^2}}}}＞n$，只要证$\sum_{i=1}^{n}（\frac{1}{i}+\frac{1}{{i}^{2}}）＞lnn$…（10分）
设$g（x）=ln（1-x）+x+{x^2}（0＜x≤\frac{1}{2}）$，则$g'（x）=\frac{1}{x-1}+1+2x=\frac{x（2x-1）}{x-1}＞0$
故$g（x）=ln（1-x）+x+{x^2}（0＜x≤\frac{1}{2}）$是增函数，$当0＜x≤\frac{1}{2}时，g（x）＞g（0）=0$…（11分）
当k≥2时，取 $x=\frac{1}{k}∈（0，\frac{1}{2}]$，有$ln（1-\frac{1}{k}）+\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2}＞0$，$\frac{1}{k}+\frac{1}{k^2}＞ln\frac{k}{k-1}$…（12分）
在上述的不等式中分别令k=2，3，4，…，n得：$\sum_{i=1}^{n}（\frac{1}{i}+\frac{1}{{i}^{2}}）＞lnn$，…（13分）
故$\sum_{i=1}^n{\frac{i+1}{i^2}＞}\sum_{i=2}^n{\frac{i+1}{i^2}＞lnn}$，
所以，不等式${e^{\sum_{i=1}^n{\frac{n+1}{n^2}}}}＞n$对任意的正整数n都成立．…（14分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的零点，考查不等式的证明，有难度．