Question

1．若两曲线y=x²与y=cx³（c＞0）所围成的图形面积为$\frac{2}{3}$，则c=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 作出对应的封闭区域，求出交点的横坐标，利用积分的几何意义进行求解即可．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}}\\{y=c{x}^{3}}\end{array}\right.$，解得x=0或x=$\frac{1}{c}$，
则对应的区域面积S=${∫}_{0}^{\frac{1}{c}}$（x²-cx³）dx=$\frac{2}{3}$，
则（$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{4}c$x⁴）|${\;}_{0}^{\frac{1}{c}}$=$\frac{2}{3}$，
故$\frac{1}{3}×（\frac{1}{c}）^{3}-$$\frac{1}{4}c×（\frac{1}{c}）^{4}$=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{c}）^{3}-$$\frac{1}{4}$×（$\frac{1}{c}$）³=$\frac{1}{12}$×（$\frac{1}{c}$）³=$\frac{2}{3}$，
即（$\frac{1}{c}$）³=8，
解得$\frac{1}{c}$=8，解得c=$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查积分的应用，利用图象求出函数交点的横坐标，利用积分公式是解决本题的关键．