Question

7．已知函数f（x）=-x²e^x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-b在定义域内恰有三个零点，求实数b的取值范围；
（3）当曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数时，求l与x轴交点的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数F（x）的导数，解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）问题转化为方程f（x）=b在定义域内有3个根，求出函数f（x）的最小值，从而求出b的范围；
（3）曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，即曲线y=f（x）的导数小于0，令f′（x）＜0，从而求出x的范围．

解答 解：（1）f′（x）=-（x²+2x）e^x，
令 f′（x）＞0，解得-2＜x＜0，
令f′（x）＜0，解得x＜-2，或x＞0，
∴f（x）的递增区间为（-2，0），递减区间为（-∞，-2）和（0，+∞）；
（2）由（1）知f（x）_极小值=f（-2）=-$\frac{4}{{e}^{2}}$，f（x）极大值=f（0）=0，
∵函数g（x）=f（x）-b在定义域内恰有三个零点，
即方程f（x）=b在定义域内有3个根，
∴b∈（-$\frac{4}{{e}^{2}}$，0）；
（3）曲线y=f（x）的切线l的斜率为负数，
即曲线y=f（x）的导数小于0，
由（1）得：f′（x）＜0，解得x＜-2，或x＞0，
故x的范围是（-∞，-2）∪（0，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用，考查函数的零点问题，本题属于中档题．