Question

16．已知向量$\overrightarrow m=（{sin\frac{x}{3}，-1}）$，$\overrightarrow n=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}A，\frac{1}{2}Acos\frac{x}{3}}），（A＞0）$，函数$f（x）=\overrightarrow n•\overrightarrow m$的最大值为2．
（1）求f（x）的最小正周期和解析式；
（2）设α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$，f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\overrightarrow n•\overrightarrow m$利用两角差的正弦函数公式化简可得$f（x）=Asin（\frac{x}{3}-\frac{π}{6}）$，结合已知可求A的值，即可得解析式，由周期公式可求最小正周期．
（2）由（1）结合诱导公式化简f（3α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{10}{13}$可得sinα，由诱导公式化简f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$可得cosβ，结合α，β的范围，由同角三角函数关系式可求cosα，sinβ的值，由两角和的余弦函数公式即可得解．

解答 解：∵f（x）=$\overrightarrow n•\overrightarrow m$，向量$\overrightarrow m=（{sin\frac{x}{3}，-1}）$，$\overrightarrow n=（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}A，\frac{1}{2}Acos\frac{x}{3}}），（A＞0）$，
∴$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}Asin\frac{x}{3}-\frac{1}{2}Acos\frac{x}{3}=A（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin\frac{x}{3}-\frac{1}{2}cos\frac{x}{3}}）=Asin（{\frac{x}{3}-\frac{π}{6}}）$…（3分）
因为函数$f（x）=Asin（\frac{x}{3}-\frac{π}{6}）$，（A＞0）的最大值为2，
所以A=2，…（2分）
所以$f（x）=2sin（\frac{x}{3}-\frac{π}{6}）$…（3分）
f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{1}{3}}}=6π$…（4分）
（2）∵$\frac{10}{13}$=f（3α+$\frac{π}{2}$）=2sin（$\frac{1}{3}×（3a+\frac{π}{2}）-\frac{π}{6}$）=2sinα，…（5分）
∴sinα=$\frac{5}{13}$，…（6分）
∵f（3β+2π）=2sin（$\frac{1}{3}$×（3β+2π）-$\frac{π}{6}$）=2cosβ=$\frac{6}{5}$，∴cos$β=\frac{3}{5}$．
∵α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴cos$α=\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{12}{13}$，sin$β=\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{4}{5}$…（8分）
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{12}{13}×\frac{3}{5}-\frac{5}{13}×\frac{4}{5}=\frac{16}{65}$．…（12分）

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的周期性及其求法，三角函数恒等变换的应用，平面向量的应用，综合性较强，属于中档题．