Question

6．已知实数x、y、z满足2x-y-2z-6=0，x²+y²+z²≤4，则2x+y+z=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{5}{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由条件利用柯西不等式求得x²+y²+z² =4．故有$\frac{x}{2}$=$\frac{y}{-1}$=$\frac{z}{-2}$，即x=-2y，z=2y．再把x=-2y，z=2y 代入2x-y-2z-6=0，求得y的值，可得2x+y+z的值．

解答 解：∵实数x、y、z满足2x-y-2z-6=0，∴2x-y-2z=6．
由柯西不等式可得（ x²+y²+z²）[2²+（-1）²+（-2）²]≥（2x-y-2z）²=36，
∴x²+y²+z² ≥4．
再根据x²+y²+z²≤4，可得x²+y²+z² =4．
故有$\frac{x}{2}$=$\frac{y}{-1}$=$\frac{z}{-2}$，∴x=-2y，z=2y．
再把x=-2y，z=2y 代入2x-y-2z-6=0，求得y=-$\frac{2}{3}$，
则2x+y+z=-4y+y+2y=-y=$\frac{2}{3}$，
故选：B．

点评 本题主要考查柯西不等式的应用，注意等号成立的条件，属于中档题．