Question

11．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列．若sinB=$\frac{5}{13}$，cosB=$\frac{12}{ac}$，则a+c=（　　）

• A． $\sqrt{37}$
• B． $\sqrt{13}$
• C． 3$\sqrt{7}$
• D． 2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根据同角的三角关系式求出ac的值，结合余弦定理进行求解即可得到结论．

解答 解：∵sinB=$\frac{5}{13}$，cosB=$\frac{12}{ac}$，
∴sin²B+cos²B=1，
即（$\frac{5}{13}$）²+（$\frac{12}{ac}$）²=1，
则（$\frac{12}{ac}$）²=1-（$\frac{5}{13}$）²=（$\frac{12}{13}$）²，
∴ac=13，cosB=$\frac{12}{ac}$=$\frac{12}{13}$
∵a，b，c成等比数列，
∴ac=b²=13，
∵b²=a²+c²-2accosB，
∴13=（a+c）²-2ac-2ac×$\frac{12}{13}$=（a+c）²-26-2×13×$\frac{12}{13}$=（a+c）²-50，
∴（a+c）²=63，
即a+c=$\sqrt{63}$=3$\sqrt{7}$，
故选：C．

点评 本题主要考查解三角形的应用，根据等比数列以及余弦定理是解决本题的关键．