Question

5．已知函数f（x）=ln（ax+1）+$\frac{2}{x+1}$-1（x≥0，a＞0）．求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 求函数的导数，再分类讨论，求出函数的单调区间．

解答 解：∵f（x）=ln（ax+1）+$\frac{2}{x+1}$-1（x≥0，a＞0），
∴f′（x）=$\frac{a}{ax+1}$-$\frac{2}{（x+1）^{2}}$=$\frac{a{x}^{2}+{a}^{2}-2}{（ax+1）（x+1）^{2}}$，
当a²-2≥0时，即a≥$\sqrt{2}$时，f′（x）≥0恒成立，故函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
当a²-2＜0时，即0＜a＜$\sqrt{2}$时，
令f′（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{2a-{a}^{3}}}{a}$，
当f′（x）＞0时，即x＞$\frac{\sqrt{2a-{a}^{3}}}{a}$，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即0≤x≤$\frac{\sqrt{2a-{a}^{3}}}{a}$，函数单调减，
综上所述，当a≥$\sqrt{2}$时，函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，
当0＜a＜$\sqrt{2}$时，函数f（x）在[0，$\frac{\sqrt{2a-{a}^{3}}}{a}$）单调递减，在（$\frac{\sqrt{2a-{a}^{3}}}{a}$，+∞）单调递增．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，利用函数单调性和导数之间的关系，是解决本题的关键，考查学生的运算能力，属中档题．