Question

16．设F₁，F₂是曲线$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞0，n＞0）的两个焦点，曲线上一点与F₁，F₂构成的三角形的周长是16，曲线上的点到F₁的最小距离为2，则n=4或5．

Answer 1

分析 由椭圆的方程分类求出椭圆的半长轴长，短半轴长及半焦距，再由三角形的周长是16，曲线上的点到F₁的最小距离为2列关于m，n的方程组求得n的值．

解答 解：由曲线$\frac{x^2}{m^2}+\frac{y^2}{n^2}$=1（m＞0，n＞0），
当m＞n时，曲线表示焦点在x轴上的椭圆，此时a=m，2a=2m，b=n，c²=a²-b²=m²-n²，
∴$c=\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}$．
由题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{2m+2\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}=16}\\{m-\sqrt{{m}^{2}-{n}^{2}}=2}\end{array}\right.$，解得：m=5，n=4；
当m＜n时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，此时a=n，2a=2n，b=m，c²=a²-b²=n²-m²，
∴$c=\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}$．
由题意可得，$\left\{\begin{array}{l}{2n+2\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}=16}\\{n-\sqrt{{n}^{2}-{m}^{2}}=2}\end{array}\right.$，解得：m=4，n=5．
∴n的值为4或5．
故答案为：4或5．

点评 本题考查了椭圆的简单几何性质，关键是注意分类讨论，是中档题．