Question

2．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=6，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为18$\sqrt{3}$．
（1）求正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的表面积；
（2）求异面直线BC₁与AA₁所成角的大小．

Answer 1

分析 （1）通过三棱柱的体积求出底面积，通过三角形的面积求出$BC=2\sqrt{3}$，然后求解三棱柱的表面积．
（2）说明∠BC₁C为异面直线BC₁与AA₁所成的角通过解三角形求解即可．

解答 解：（1）因为三棱柱的体积为$18\sqrt{3}$，AA₁=6．S_△ABC•AA₁=18$\sqrt{3}$．
从而${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}B{C^2}=3\sqrt{3}$，因此$BC=2\sqrt{3}$．…（2分）
该三棱柱的表面积为${S_全}=2•{S_{△ABC}}+{S_侧}=6\sqrt{3}+36\sqrt{3}=42\sqrt{3}$．…（4分）
（2）由（1）可知$BC=2\sqrt{3}$
因为CC₁∥AA₁．所以∠BC₁C为异面直线BC₁与AA₁所成的角，…（8分）
在Rt△BC₁C中，$tan∠B{C_1}C=\frac{{2\sqrt{3}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，所以∠BC₁C=$\frac{π}{6}$．
异面直线BC₁与AA₁所成的角$\frac{π}{6}$…（12分）

点评 本题考查棱柱的体积求法，表面积的求法，异面直线所成角的求法，考查计算能力．