Question

19．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四边形ABEF是正方形．将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE₁F₁的位置，使平面ABE₁F₁⊥平面ABCD，M为AF₁的中点，如图2．
（Ⅰ）求证：BE₁⊥DC；
（Ⅱ）求BM与平面CE₁M所成角的正弦值；
（Ⅲ）判断直线DM与CE₁的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明BE₁⊥AB．利用平面与平面垂直的性质定理证明 BE₁⊥平面ABCD．然后证明BE₁⊥DC．
（Ⅱ）以点B为坐标原点，分别以BC，BE₁所在的直线为x，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．求出平面CE₁M的一个法向量，$\overrightarrow{BM}$，设BM与平面CE₁M所成角为θ，利用向量的数量积求解BM与平面CE₁M所成角的正弦值．
（Ⅲ）直线DM与直线CE₁平行．通过证明 $\overrightarrow{C{E_1}}∥\overrightarrow{DM}$，推出 DM∥CE₁．
另解：证明CDMQ是平行四边形．推出DM∥CQ，说明DM∥CE₁．

解答 （共14分）
证明：（Ⅰ）证明：因为 四边形ABE₁F₁为正方形，
所以 BE₁⊥AB．
因为 平面ABCD⊥平面ABE₁F₁，平面ABCD∩平面ABE₁F₁=AB，BE₁?平面ABE₁F₁，
所以 BE₁⊥平面ABCD．…（2分）
因为 DC?平面ABCD，
所以 BE₁⊥DC．…（4分）
（Ⅱ）解：如图，以点B为坐标原点，分别以BC，BE₁所在的直线为x，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．
设AD=1，则$B（0，0，0），C（2，0，0），{E_1}（0，0，\sqrt{2}），M（1，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．
所以 $\overrightarrow{BM}=（1，1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，$\overrightarrow{C{E_1}}=（-2，0，\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{{E_1}M}=（1，1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．…（6分）
设平面CE₁M的一个法向量为$\overrightarrow n=（x，y，z）$．
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{C{E_1}}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{{E_1}M}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}-2x+\sqrt{2}z=0\\ x+y-\frac{{\sqrt{2}}}{2}z=0.\end{array}\right.$
令x=1，得$z=\sqrt{2}，y=0$，所以 $\overrightarrow n=（1，0，\sqrt{2}）$．…（8分）
设BM与平面CE₁M所成角为θ，
则$sinθ=|{cos＜\overrightarrow{BM}，\overrightarrow n＞}|=|{\frac{{\overrightarrow{BM}•\overrightarrow n}}{{|{\overrightarrow{BM}}||{\overrightarrow n}|}}}|=|{\frac{1+0+1}{{\sqrt{\frac{5}{2}}×\sqrt{3}}}}|=\frac{{2\sqrt{30}}}{15}$．
所以 BM与平面CE₁M所成角的正弦值为$\frac{{2\sqrt{30}}}{15}$．…（10分）

（Ⅲ）解：直线DM与直线CE₁平行．…（11分）
理由如下：
由题意得，$D（2，1，0），\overrightarrow{DM}=（-1，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，$\overrightarrow{C{E_1}}=（-2，0，\sqrt{2}）$．
所以 $\overrightarrow{C{E_1}}=2\overrightarrow{DM}$．
所以 $\overrightarrow{C{E_1}}∥\overrightarrow{DM}$．…（13分）
因为 DM，CE₁不重合，
所以 DM∥CE₁．…（14分）
另解：直线DM与直线CE₁平行．理由如下：
取BC的中点P，CE₁的中点Q，连接AP，PQ，QM．
所以 PQ∥BE₁且$PQ=\frac{1}{2}B{E_1}$．
因为 M为AF₁的中点，四边形ABE₁F₁是正方形，
所以 AM∥BE₁且$AM=\frac{1}{2}B{E_1}$．
所以 PQ∥AM且PQ=AM．
所以 APQM为平行四边形．
所以 MQ∥AP且MQ=AP．
因为 四边形ABCD为梯形，BC=2AD，
所以 AD∥PC且AD=PC．
所以 四边形APCD为平行四边形．

所以 CD∥AP且CD=AP．
所以 CD∥MQ且CD=MQ．
所以 CDMQ是平行四边形．
所以 DM∥CQ，即DM∥CE₁．…（14分）

点评 本题考查空间直线与平面的位置关系，直线与平面所成角的求法，直线与直线的平行的判断，平面与平面垂直的性质定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．