Question

20．已知函数$f（x）=a（{x-\frac{1}{x}}）-2lnx，a∈R$．
（Ⅰ）当a=1时，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出当a=1时，f（x）的导数，判断符号，进而得到是否存在极值；
（Ⅱ）求出f9x）的导数，对a讨论，当a≤0时，当a≥1时，当0＜a＜1时，判断导数的符号，求出单调区间，即可得到．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，x＞0，
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≥0，
即有f（x）在（0，+∞）递增，函数f（x）不存在极值；
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=a（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）-$\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-2x+a}{{x}^{2}}$，
当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减；
当a＞0时，x＞0，f′（x）=0和方程ax²-2x+a=0由相同的实根，△=4-4a²，
①当0＜a＜1时，△＞0，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，且x₁＜x₂，
x∈（x₁，x₂）时，f′（x）＜0，f（x）递减；x∈（0，x₁）∪（x₂，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）递增．
②当a≥1时，△≤0，f′（x）＞0，f（x）递增．
综上可得，当a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞）；
当0＜a＜1时，f（x）的减区间为（$\frac{1-\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$），
增区间为（0，$\frac{1-\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$），（$\frac{1+\sqrt{1-{a}^{2}}}{a}$，+∞）；
当a≥1时，f（x）的增区间为（0，+∞）．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值，同时考查分类讨论的思想方法，注意化简和整理的运算能力的培养，属于中档题和易错题．