Question

6．已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的所对的边，且满足（2c+b）cosA+acosB=0，若a=4则△ABC的面积的最大值是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，求出cosA的值，确定出sinA的值，由余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积的最大值即可．

解答 解：已知等式（2c+b）cosA+acosB=0，
利用正弦定理化简得：（2sinC+sinB）cosA+sinAcosB=0，
整理得：2sinCcosA+sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA+sin（A+B）=0，
即2sinCcosA=-sin（A+B）=-sinC，
∵sinC≠0，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即16=b²+c²+bc≥2bc+bc=3bc，
∴bc≤$\frac{16}{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
则△ABC面积的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．