Question

1．已知函数f（x）=e^x-1-$\frac{4a-3}{6x}$，g（x）=$\frac{1}{3}$ax²+$\frac{1}{2}$x-（a-1）．
（Ⅰ）曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）当a=-$\frac{3}{4}$时，求证：f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）当x≥1时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导函数，得到函数在x=1时的导数，由f（x）在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直列式求得实数a的值；
（Ⅱ）把a=-$\frac{3}{4}$代入函数解析式，求导后由导函数的符号可得f（x）在（1，+∞）上单调性；
（Ⅲ）令h（x）=f（x）-g（x），求导后对a分类，分a≤1和a＞1求得函数h（x）在（1，+∞）上的最值，利用函数h（x）的最小值大于等于0求得a的取值范围．

解答 （Ⅰ）解：${f}^{′}（x）={e}^{x-1}+\frac{4a-3}{6{x}^{2}}$，
依题意得：${f}^{′}（1）•（-\frac{1}{2}）=（1+\frac{4a-3}{6}）×（-\frac{1}{2}）=-1$，
解得：$a=\frac{9}{4}$；                             
（Ⅱ）证明：当$a=-\frac{3}{4}$时，$f（x）={e}^{x-1}+\frac{1}{x}$，
∴${f}^{′}（x）={e}^{x-1}-\frac{1}{{x}^{2}}$．
∴${f}^{″}（x）={e}^{x-1}+\frac{2}{{x}^{3}}＞0$对x∈（1，+∞）成立，
即：f′（x）在（1，+∞）上为增函数，
又f′（1）=0，故f′（x）＞0对x∈（1，+∞）成立，
∴f（x）在（1，+∞）上为增函数；              
（Ⅲ）解：由f（x）≥g（x），
得：$x•{e}^{x-1}-\frac{1}{3}a{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}+（a-1）x$$+\frac{1}{2}-\frac{2}{3}a≥0$（x≥1），
设$h（x）=x•{e}^{x-1}-\frac{1}{3}a{x}^{3}-\frac{1}{2}{x}^{2}+（a-1）x$$+\frac{1}{2}-\frac{2}{3}a$（x≥1），
∴h′（x）=（x+1）e^x-1-ax²-x+a-1=（x+1）[e^x-1-a（x-1）-1]（x≥1），
设k（x）=e^x-1-a（x-1）-1（x≥1），
∴k′（x）=e^x-1-a．
①当a≤1时：k′（x）≥0对x∈[1，+∞）成立，
又k（1）=0，故k（x）≥0，即：h′（x）≥0．
又h（1）=0，故h（x）≥0；           
②当a＞1时：由k′（x）=0，得x=1+lna＞1，
当x∈（1，1+lna）时：k′（x）＜0，
又k（1）=0，故：k（x）＜0，即：h′（x）＜0，
又h（1）=0，故h（x）＜0这与已知不符．
综上所述：实数a的取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，训练了函数恒成立问题的截距方法，函数构造法和分类讨论的数学思想方法是解决该题的关键，是中档题．