Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2ax²+3a²x-2．
（1）若的单调递减区间为（-3，-1），求a的值；
（2）若f（x）在（0，2a）上有两个零点，求a³的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求导，再根据函数的单调区间，即可求出a的值；
（2）根据函数的零点判定定理，即可求出a的值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2ax²+3a²x-2，
∴f′（x）=x²-4ax+3a²=（x-3a）（x-a），
∵函数f（x）的单调递减区间为（-3，-1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{3a=-3}\\{a=-1}\end{array}\right.$，
即a=-1；
（2）∵f（x）在（0，2a）上有两个零点，
∴a＞0，且$\left\{\begin{array}{l}{f（a）＞0}\\{f（2a）＜0}\end{array}\right.$，
解得$\frac{3}{2}＜{a}^{3}＜3$
故a³的取值范围为（$\frac{3}{2}$，3）

点评 本题考查了应用导数研究函数的单调性、零点以及函数在闭区间上的最值问题，同时考查分析问题、解决问题的能力以及分类讨论的数学思想．