Question

20．已知函数f（x）=e^x-me^-x，e为自然对数的底数．
（1）若f（x）在x=ln2处的切线的斜率为l，求实数m的值；
（2）当m=1时，若正数a满足：存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）＜a（-x₀³+3x₀）成立．试比较a^e-1与e^a-1的大小，并说明埋由．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用f（x）在x=ln2处的切线的斜率为l，求实数m的值；
（2）利用$ln\frac{{{a^{e-1}}}}{{{e^{a-1}}}}=ln{a^{e-1}}-ln{e^{a-1}}=（e-1）lna-a+1$，设m（a）=（e-1）lna-a+1，确定其单调性，即可比较a^e-1与e^a-1的大小．

解答 解：（1）f'（x）=e^x+me^-x，由题意得，$f'（ln2）=2+\frac{m}{2}=1$，则m=-2．…（3分）
（2）当m=1时，f'（x）=e^x+e^-x，
设h（x）=f（x）+ax³-3ax，则h'（x）=f'（x）+3ax²-3a，
当x≥1时f'（x）＞0，且3ax²-3a≥0，∴h'（x）＞0，即h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∵存在x₀∈[1，+∞），使得$f（{x_0}）＜a（-x_0^3+3{x_0}）$，
∴即存在x₀∈[1，+∞），使得h（x₀）＜0，
∴$h（1）=e-\frac{1}{e}-2a＜0$，即$a＞\frac{1}{2}（{e-\frac{1}{e}}）$．…（7分）
∵$ln\frac{{{a^{e-1}}}}{{{e^{a-1}}}}=ln{a^{e-1}}-ln{e^{a-1}}=（e-1）lna-a+1$，
设m（a）=（e-1）lna-a+1，则$m'（a）=\frac{e-1}{a}-1=\frac{e-1-a}{a}\;，\;a＞\frac{1}{2}（{e-\frac{1}{e}}）$
当$\frac{1}{2}（{e-\frac{1}{e}}）＜a＜e-1$时，m'（a）＞0，m（a）单调递增，
当a＞e-1时，m'（a）＜0，m（a）单调递减，
因此m（a）在$a＞\frac{1}{2}（{e-\frac{1}{e}}）$时至多有两个零点，而m（1）=m（e）=0，且$\frac{1}{2}（{e-\frac{1}{e}}）＞1$，
∴当$\frac{1}{2}（{e-\frac{1}{e}}）＜a＜e$时，m（a）＞0，a^e-1＞e^a-1；
当a=e时，m（a）=0，a^e-1=e^a-1；
当a＞e时，m（a）＜0，a^e-1＜e^a-1．…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，正确构造函数是关键．