Question

9．已知A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0）三点共线，其中a＞0，b＞0，则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 化简平面向量$\overrightarrow{AC}=（{-b-1，2}），\overrightarrow{AB}=（{a-1，1}）$共线，从而可得2a+b=1，再由基本不等式得2ab≤$（\frac{2a+b}{4}）^{2}$=$\frac{1}{4}$；从而再化简$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=$\frac{2a+b}{ab}$=$\frac{1}{ab}$=$\frac{2}{2ab}$，从而求得．

解答 解：∵$\overrightarrow{AC}=（{-b-1，2}），\overrightarrow{AB}=（{a-1，1}）$共线，
∴2a+b=1，
2ab≤$（\frac{2a+b}{4}）^{2}$=$\frac{1}{4}$；
（当且仅当2a=b，即a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{1}{2}$时，等号成立）
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=$\frac{2a+b}{ab}$=$\frac{1}{ab}$=$\frac{2}{2ab}$≥8；
故选D．

点评 本题考查了平面向量与基本不等式的应用，属于基础题．