Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+（b-1）x+c（a＞0），曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=x+1
（1）求b、c的值；
（2）若过点（0，3）可作曲线g（x）=f（x）-x的三条不同切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求f（x）的导数f′（x），再求f（0），由题意知f（0）=1，f′（0）=1，从而求出b，c的值；
（2）首先设出切点，求出切线的斜率，写出切线方程，代入点（0，3），得到关于x₀的三次方程，且该方程有三个不同的实根，构造函数，运用导数求出极小值，令其值小于0，解出a的取值范围，注意a＞0．

解答 解：（1）因为函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+（b-1）x+c（a＞0），
所以导数f′（x）=x²-ax+b-1，
又因为曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=x+1，
所以f（0）=1，f′（0）=1，
即b=2，c=1．
（2）由（1）知f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+x+1，g（x）=f（x）-x=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$ax²+1，
g′（x）=x²-ax，
设切点为（x₀，y₀），
则y₀=g（x₀）=$\frac{1}{3}$x₀³-$\frac{1}{2}$ax₀²+1，
切线的斜率为k=g′（x₀）=x₀²-ax₀，
所以切线方程为y-y₀=k（x-x₀），
因为切线经过点（0，3），所以3-y₀=-kx₀，
即3-（$\frac{1}{3}$x₀³-$\frac{1}{2}$ax₀²+1）=-（x₀²-ax₀）x₀，
化简得：4x₀³-3ax₀²+12=0①，
因为过点（0，3）可作曲线y=g（x）的三条不同切线，
所以①有三个不同的实根．
即函数h（x）=4x³-3ax²+12有三个不同的零点．
导数h′（x）=12x²-6ax=0得x=0，或x=$\frac{a}{2}$（a＞0）
可知只要极小值g（$\frac{a}{2}$）＜0即4×$\frac{{a}^{3}}{8}$-3a•$\frac{{a}^{2}}{4}$+12＜0，
所以a＞2$\root{3}{6}$．
故实数a的取值范围是（2$\root{3}{6}$，+∞）．

点评 本题主要考查导数的概念及应用：求极值，解题中必须注意过某点的切线与在某点处的切线的区别，本题就是一个很好的例子，同时考查了字母的运算能力，是一道中档题．